Um livro escrito, um filho nascido

Esta não será uma história com princípio, meio e fim. Só o meio já está de bom tamanho. Então não importa agora como eu cheguei à cena ou o que se passou depois dela. Importa, talvez, alguns detalhes.
Um desses detalhes, importante para entender o que se passou, fica por conta de saber que à época não havia computadores pessoais. Para se editar um livro ou se usava a boa e velha máquina de escrever ou se escrevia à mão para depois alguém passar com letras gráficas para os fotolitos que iriam gerar a produção em série. Não sei bem o processo, pois eu era apenas uma parte do grupo de autoria.
Magda, Edson e eu trabalhávamos durante o período da manhã. Chegávamos cedo. Discutíamos a pauta, estudávamos como iríamos abordar o assunto, quais as figuras que iríamos usar, que exercícios iríamos disponibilizar, e quem iria fazer o que. Quando o Prof. Scipione chegava, mostrávamos a ele, recebíamos as críticas, às vezes boas, às vezes más, e assim que ele liberava cada um ia cumprir a sua parte.
Foram quatro volumes do livro “Matemática”, absolutamente manuscritos em folhas de sulfite A4. A letra tinha que ser impecável, redondinha, bonita, legível. Eu usava caneta-tinteiro, pois só assim para escrever devagar e com cuidado.
A cada página escrita, fazíamos a revisão, e se houvesse erro, dificilmente consertávamos, escrevíamos tudo outra vez. Parecia trabalho dos escravos de Jó. Era um exercício de paciência e capricho. Foi um ano maravilhoso. Ganhávamos pouco, mas aprendemos muito mais do que a Universidade pôde nos dar.
Um dia o trabalho chegou ao final. Quando colocamos a última folha do último livro na pilha, um olhou para o outro e tivemos a mesma idéia: jogar tudo para o ar e vê-las cair gostosamente pairando no ar.
Não sei se foi sonho ou se realmente aconteceu, mas tenho certeza que vivi o momento. Tenho certeza que as folhas se espalharam por toda a sala e que recolhemos tudo às gargalhadas.
Se na época não aconteceu, isso acontecerá agora... Assim que imprimir a última folha da minha dissertação de mestrado, vou jogá-la para cima e esperar que cada folha caia junto com as lágrimas de alívio que isso trará.
Um livro é um filho, e este será o 13º, contado com as minhas duas filhas. E será tão querido quanto os outros, mesmo não sendo o primogênito, mesmo eu tendo certeza que não será o caçula. Outros virão e todos me darão um enorme prazer.

Lilia Maria

PRÓLOGO

"Asad-Abu-Carib, rei do Iémen, ao repousar, certa vez, na larga varanda do seu palácio, sonhou que encontrara sete jovens que caminhavam por uma estrada. Em certo momento, vencidas pela fadiga e pela sede, as jovens pararam sob o sol causticante do deserto. Surgiu, nesse momento, uma formosa princesa que se aproximou das peregrinas, trazendo-lhes um grande cântaro cheio de água pura e fresca. A bondosa princesa saciou a sede que torturava as jovens, e estas, reanimadas, puderam reiniciar a jornada interrompida. Ao despertar, impressionado com esse inexplicável sonho, determinou Asad-Abu-Carib que viesse à sua presença um astrólogo famoso, chamado Sanib, e consultou-o sobre o significação daquela cena a que ele - rei poderoso e justo - assistira no mundo das Visões e Fantasias. Disse Sanib, o astrólogo: Senhor! As sete jovens que caminhavam pela estrada eram as artes divinas e as ciências humanas: a Pintura, a Música, a Escultura, a Arquitetura, a Retórica, a Dialética e a Filosofia. A princesa prestativa que as socorreu simboliza a grande prodigiosa Matemática. Sem o auxílio da Matemática - prosseguiu o sábio - as artes não podem progredir e todas ciências perecem." (MALBA TAHAN, O HOMEN QUE CALCULAVA)

Este trecho do livro "O homem que calculava" foi o prólogo do trabalho "A Arte e a Matemática", apresentado por mim e pela colega Maria Cristina Barros da Silva Rodrigues Leite, ao final do curso de "Metodologia do estudo da Matemática" ministrado pelo Prof. Dr. Vinicio de Macedo Santos na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo no ano de 2005.

Embora este curso fosse dirigido aos alunos da graduação em Licenciatura em Matemática, nós duas cursávamos como alunas especiais e prováveis postulantes ao mestrado.

Usar arte como motivação para o estudo da matemática, em particular da geometria não é uma idéia original. Porém o que sempre tenho visto é apenas uma pontinha do que pode ser feito. Além do mais, é preciso de muito estudo, muita pesquisa, uma boa dose de criatividade e bastante trabalho para se preparar aulas com qualidade.

Um dia ainda vou pensar melhor neste assunto.

Divagando sobre a Matemática

A Matemática, considerada por muitos pensadores como a mãe e todas as ciências por sua lógica e conceitos, já foi definida por Galileu Galilei como o alfabeto com o qual Deus descreveu o universo. Ao longo o tempo, se desenvolveu em teoremas, axiomas, postulados e algoritmos que, dos mais simples problemas às mais sofisticadas teorias, busca explicar e resolver.
Teria a Matemática, tão eterna, tão exata em sua essência, imitado a vida, tão volátil, mutável e surpreendente? Por certo que sim. O que não é a vida senão uma grande teoria construída sobre uma tabela de valores definida pelo meio social? E o que são estes valores senão axiomas e postulados que se explicam por si só, sem a necessidade de demonstração?
Ah! Diriam agora os leigos mais incautos, então todo mundo pensa e vive da mesma forma, pois a base é sempre a mesma! Não, eu responderia. A Matemática, assim como a vida, é feita de modelos. Cada modelo tem suas “verdades” e cada “verdade” só é “verdade” dentro de um certo modelo. O que é imutável é a lógica que encadeia estas “verdades” para desenvolver as suas teorias. Maluquice? Nem tanto... Basta lembrar que as retas paralelas passam a se encontrar no infinito quando falamos das geometrias não euclidianas.

Lilia Maria

Martingais

A palavra martingal tem muitos significados, mas o que nos interessa refere-se a um tipo de estratégia de apostas muito popular na França no século 18. A idéia é muito simples e foi concebida para um jogo do tipo “cara ou coroa”, em que o jogador ganha se cair cara e perde se for coroa. Nesta estratégia, deve-se dobrar a sua aposta depois de cada perda de modo que, na primeira vitória as perdas anteriores sejam recuperadas e ainda se tenha um lucro igual ao primeiro valor apostado.

Para que fique claro, daremos um exemplo bastante elementar. Imagine que um jogador aposta R$1,00 na primeira jogada. O oponente aposta também R$1,00. Se ele ganha, recebe os R$2,00, tendo um lucro de R$1,00. Se perder, perde o R$1,00 apostado. Supondo que ele tenha perdido, na segunda rodada ele e o oponente apostam R$2,00 cada um. Se ele ganhar, recebe R$4,00. Seu lucro é de R$1,00, pois ele perdeu R$1,00 na primeira rodada e apostou R$2,00 do seu capital. Se houver a terceira rodada, a aposta deve ser de R$4,00. Se vencer recebe R$8,00, mas o lucro continua sendo de R$1,00, pois ele já perdeu R$3,00 e tirou R$4,00 do seu capital para participar desta rodada. Veja o quadro:

RODADA	APOSTA	RECEBE	PERDE	LUCRO
1	R$1,00	R$2,00	R$1,00	R$1,00
2	R$2,00	R$4,00	R$3,00	R$1,00
3	R$4,00	R$8,00	R$7,00	R$1,00

Se o jogador tivesse um capital infinito para jogar, certamente ele garantiria o lucro, mas na realidade, ninguém possui tal capital. Mais ainda, dado o crescimento exponencial da aposta, qualquer um pode falir rapidamente em um dia de má sorte. Considerando este mesmo valor para a aposta, em 20 rodadas sem sucesso ele estaria apostando R$524.288,00 e perdido (ou investido) até o momento (considerando a aposta atual) R$1.048.575,00! Seria um investimento muito grande para um lucro insignificante.

O conceito de martingais dentro da teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Pierre Lévy, mas grande parte do desenvolvimento deve-se a Joseph Leo Doob, cuja motivação era de mostrar a impossibilidade de estratégias bem sucedidas para apostas.

Segundo Dobb, a teoria dos martingais ilustra a história da probabilidade matemática. As definições básicas foram inspiradas em noções simples de jogo, mas a teoria se tornou uma ferramenta sofisticada na matemática moderna.

Lilia Maria Faccio

Mais uma postagem diferente. Desta vez é a introdução do trabalho sobre martingais.

Matemática Moderna incita à subversão

Entre os meus “guardados” encontrei um pequeno recorte de jornal de 1980. Creio que quem me enviou não se ateve muito ao conteúdo. A intenção era fazer uma brincadeira, já que o meu pai sempre me chamava de comunista. O título do artigo é o mesmo do “post” e o conteúdo é o que segue:

A idéia de subversão pelo ensino de matemática moderna já havia surgido há alguns anos e volta à baila através de duas revistas argentinas, tendo como origem geográfica sempre a mesma província de Córdoba,
Segundo a revista “Science for the People” (março/abril, 1980), as autoridades provinciais baixaram um novo decreto proibindo o ensino de matemática moderna na província. As razões são as seguintes: seus postulados estão a favor da lógica formal e favorecem a geminação de uma ideologia subversiva cuja linguagem utiliza palavras “matriz” e “vetor”, consideradas pelas autoridades “tipicamente marxistas”. A “pior” das palavras é “conjunto” por evocar a reunião, a coletividade, a massa!
Decididamente a matemática moderna consegue desagradar a gregos e troianos. Na Rússia ela é considerada muito burguesa.

O ensino da Matemática sempre foi uma grande preocupação para os educadores. Antes de 1950, os professores desta disciplina ocupavam-se com os cálculos aritméticos, as identidades trigonométricas, problemas de enunciados grandes e complicados, demonstrações de teoremas de geometria e resolução de problemas sem utilidade prática. No início da década de 60, ocorre uma mudança, influenciada por uma discussão internacional acerca de uma nova abordagem para o ensino de Matemática. Este Movimento internacional torna-se conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM).
Quando ingressei no antigo ginásio, em 1964, a maioria dos professores de matemática do estado de São Paulo estava comprometida com a mudança de curso do ensino dessa disciplina. Dentro do MMM, a construção do conhecimento matemático era feito a partir dos conceitos básicos da Teoria dos Conjuntos. A crítica que sempre foi feita a este método de ensino é que os conceitos são muito abstratos e que levam a um formalismo matemático desnecessário no ensino básico.
Muitos anos depois, já formada e trabalhando em sala de aula, tornei-me uma defensora feroz da continuidade dos preceitos fundamentais do MMM. A construção da matemática a partir da lógica embutida na Teoria dos Conjuntos, a meu ver, tornava claro muitos dos conceitos que antes eram decorados. O problema não era o que se ensinava, mas como se ensinava. Conceitos abstratos podem ser facilmente absorvidos quando se parte do concreto para a generalização.
Pensando nas experiências que os alunos deveriam ter para sair do concreto para o abstrato, em 1985 tentei criar na escola em que era titular um “laboratório de matemática”. A idéia era que os alunos fizessem experiências ou que participassem de brincadeiras para depois, refletindo sobre a atividade, construíssem definições e conceitos.
Meu experimento durou exatamente dois dias. A diretora da escola, alegando que os alunos faziam muito barulho, proibiu a atividade. Conversando depois com os meus colegas, eles disseram que na sala de aula não se escutava o que estava acontecendo no pátio. Insisti com a diretora dizendo que o barulho não estava incomodando o andamento das outras aulas. Aí ela “disparou”:
- Incomoda a mim... Menina! Aprenda: escola só é boa quando não tem aluno dentro!
O choque foi tão grande que a partir deste dia decidi buscar outros horizontes.
Apenas para encerrar, 1964 foi o ano do golpe militar. Se a matemática moderna era subversiva, obvio que aqui no Brasil, mais cedo ou mais tarde, ela deixaria de ser ensinada ou então, seria ensinada, mas não de forma adequada. Um assunto a se pensar...

Tempo e movimento

Dentro da Matemática nada me encantou mais do que estudar alguns paradoxos. Como na época da minha graduação eu andava muito com a turma da minha irmã, Livia, quase 8 anos mais nova do que eu, de vez em quando eu ficava filosofando e divagando sobre as coisas que eu ia lendo e aprendendo. Normalmente a molecada ia no embalo dos meus pensamentos. Era um verdadeiro exercício de lógica! Aí o pessoal achava que eu estava “viajando” e perguntavam para minha irmã qual o "ácido" que eu havia tomado. Logo eu... A “careta” da história...

Nunca precisei de qualquer tipo de droga para viajar, bastava e basta ainda, embarcar em alguma idéia ou sonho. Eu vôo alto!
Mas vamos ver os paradoxos que eram os maiores alvos do meu encanto. Claro que vou contar toda uma história para exemplificá-los.
Imagine aquele arqueiro que protagonizou o momento mágico da Olimpíada de Barcelona, acendendo a pira olímpica disparando uma fecha incandesceste em direção a ela. Será que ele realmente conseguiu acendê-la? Muita gente diz que não, que tudo não passou de uma grande encenação, etc., etc.
Se analisarmos a situação, podemos pensar que, para atingir o alvo, a flecha deve passar pelo ponto que determina a metade da distância entre o arco e o alvo. Assim que a flecha atinja este ponto, ela terá que atingir o ponto que determina a metade da distância entre o ponto anterior e o alvo. Sucessivamente, a flecha sempre deverá vencer a metade do ponto onde se encontra e o alvo. Desta forma sempre haverá uma “metade” de distância a percorrer, portanto o alvo nunca será atingido.
Podemos partir também de outra hipótese, esta com relação ao tempo. O tempo é uma sucessão de instantes, certo? Se olharmos a flecha em cada instante, como se estivéssemos fotografando, dentro de cada instante ela estará parada, certo? Se ela está parada em cada instante, então ela não se movimenta, e se ela não se movimenta, não atinge o alvo.
Meio maluco, n’é?
O doidinho que pensava estas coisas era o filósofo grego, Zenon, nascido na cidade de Eléia e que viveu entre 490 e 430 A.C.